Среднее гармоническое и среднее геометрическое — это два основных понятия в математике, которые используются для нахождения среднего значения набора чисел. Неравенство между этими двумя средними значениями было доказано и гарантирует, что среднее гармоническое всегда будет меньше среднего геометрического.
Среднее гармоническое чисел определяется как обратное среднее арифметическое их обратных значений. Например, для набора чисел a1, a2, …, an среднее гармоническое обозначается как H и вычисляется по формуле H = n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an).
Среднее геометрическое чисел определяется как корень n-ой степени из их произведения. То есть для набора чисел a1, a2, …, an среднее геометрическое обозначается как G и вычисляется по формуле G = √(a1 * a2 * … * an).
Доказательство неравенства между средним гармоническим и средним геометрическим основано на неотрицательности дроби G/H. Предположим, что хотя бы одно из чисел a1, a2, …, an меньше или равно нулю, тогда G = 0, и неравенство не имеет смысла. Далее, если все числа положительны, мы можем использовать свойство аддитивной инверсии и упростить выражение G/H, после чего убедиться в его неотрицательности.
Среднее гармоническое и среднее геометрическое
Среднее гармоническое определяется как обратное среднего значения обратных чисел набора. Формула для расчета среднего гармонического выглядит следующим образом:
H = n / (1/x1 + 1/x2 + … + 1/xn)
Где n — количество чисел в наборе, а x1, x2, …, xn -это числа в наборе. Среднее гармоническое используется для нахождения средней скорости, среднего времени выполнения задачи и других величин, когда несколько значений должны быть учтены с разными весами.
Среднее геометрическое, с другой стороны, определяется как корень n-ой степени произведения чисел набора. Формула для расчета среднего геометрического выглядит следующим образом:
G = (x1 * x2 * … * xn)^(1/n)
Где n — количество чисел в наборе, а x1, x2, …, xn — числа в наборе. Среднее геометрическое применяется для нахождения среднего геометрического роста, среднего геометрического дохода и других величин, где необходимо учитывать множество значений их влияние друг на друга.
Важно отметить, что среднее гармоническое всегда меньше среднего геометрического для любого набора положительных чисел. Это неравенство может быть доказано с помощью алгебраических преобразований и математической индукции.
Доказательство неравенства
Для доказательства этого неравенства рассмотрим два положительных числа a и b. Их среднее гармоническое определяется как:
H = 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a + b)
А среднее геометрическое определяется как:
G = sqrt(ab)
Теперь рассмотрим функцию f(x) = 1/x, которая является выпуклой вниз на всей области определения. Таким образом, согласно неравенству Йенсена, для любых положительных чисел t1 и t2 с весами α и β соответственно, где α + β = 1, выполняется следующее неравенство:
αf(t1) + βf(t2) ≥ f(αt1 + βt2)
Применяя данное неравенство к функции f(x) = 1/x для чисел a и b с весом α = a/(a + b) и β = b/(a + b), получаем:
(a/(a + b))(1/a) + (b/(a + b))(1/b) ≥ 1/(a + b)
Упрощая полученное выражение, получаем:
a/(a + b) + b/(a + b) ≥ 2/((1/a) + (1/b))
Данное неравенство эквивалентно неравенству:
(a + b)/(a + b) ≥ 2ab/(a + b)
Из упрощения видно, что данное неравенство всегда выполняется и равенство достигается только в случае a = b.
Таким образом, мы доказали неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим чисел: H ≤ G.
Связь между средним гармоническим и средним геометрическим
Среднее гармоническое двух чисел определяется формулой:
среднее гармоническое = 2 / (1/a + 1/b)
где a и b — числа, для которых определяется среднее гармоническое. Среднее гармоническое для двух положительных чисел всегда меньше их среднего арифметического.
Среднее геометрическое определяется формулой:
среднее геометрическое = √(a * b)
где a и b — числа, для которых определяется среднее геометрическое. Среднее геометрическое для двух положительных чисел также всегда меньше их среднего арифметического.
Таким образом, можно сделать вывод, что среднее гармоническое и среднее геометрическое являются «средними» значениями, которые находятся между средним арифметическим и средним квадратическим.