Доказательство подмножества как подпространства

Подпространство является важным понятием в линейной алгебре. Оно представляет собой подмножество векторного пространства, обладающее определенными свойствами. Доказывать, что данное подмножество является подпространством, требуется умение применять основные шаги проверки подпространства. Это помогает убедиться, что все необходимые свойства выполняются и позволяет использовать результаты в дальнейших математических рассуждениях.

Первый шаг в доказательстве заключается в проверке замкнутости относительно сложения. Для этого необходимо взять два произвольных вектора из подмножества и убедиться, что их сумма также принадлежит этому подмножеству. Если свойство выполняется, то можно перейти к следующему шагу.

Второй шаг состоит в проверке замкнутости относительно умножения на скаляр. Для этого необходимо взять произвольный вектор из подмножества и произвольный скаляр, а затем умножить их друг на друга. Если полученный результат также принадлежит подмножеству, то свойство выполняется.

Третий шаг заключается в проверке включения нулевого вектора. Нулевой вектор (вектор, все компоненты которого равны нулю) должен принадлежать подмножеству, чтобы оно могло быть подпространством. Если эта проверка выполняется, то остается последний шаг.

Четвертый и последний шаг включает проверку замкнутости относительно вычитания. Для этого необходимо взять два произвольных вектора из подмножества и убедиться, что их разность также принадлежит этому подмножеству. Если все шаги проверки успешно выполнены, то подмножество может быть доказано как подпространство.

Например, рассмотрим подмножество всех полиномов степени не выше 2 векторного пространства полиномов. Для доказательства, что это подпространство, требуется проверить все шаги. Убедимся, что подмножество замкнуто относительно сложения, умножения на скаляр, включает нулевой вектор и замкнуто относительно вычитания. В результате получим, что данное подмножество является подпространством.

Как доказать подмножество — основные шаги и примеры

Шаг 1: Проверка непустоты подмножества. Необходимо убедиться, что заданное подмножество не является пустым. Для этого достаточно найти хотя бы один вектор, который принадлежит данному подмножеству.

Шаг 2: Проверка замкнутости относительно сложения векторов. Для этого необходимо взять любые два вектора из подмножества и проверить, принадлежит ли их сумма этому же подмножеству. Если это условие выполняется, то подмножество является замкнутым относительно сложения векторов.

Шаг 3: Проверка замкнутости относительно умножения на скаляр. Для этого необходимо взять любой вектор из подмножества и проверить, принадлежит ли его умножение на скаляр этому же подмножеству. Если это условие выполняется, то подмножество является замкнутым относительно умножения на скаляр.

Пример: Доказательство того, что множество всех полиномов степени не выше двух является подпространством. Начнем с проверки непустоты: существует полином нулевой степени, который является элементом данного множества. Затем проверим замкнутость относительно сложения векторов: возьмем два произвольных полинома степени не выше двух и сложим их. Результатом будет полином также степени не выше двух, что подтверждает замкнутость. Наконец, проверим замкнутость относительно умножения на скаляр: умножим произвольный полином степени не выше двух на скаляр, и получим полином также степени не выше двух. Таким образом, множество всех полиномов степени не выше двух является подпространством.

Определение подпространства

Во-первых, необходимо убедиться, что подмножество не пусто, то есть в нем должен присутствовать нулевой элемент. Нулевой элемент является нулевым вектором и обозначается как 0. Если подмножество не содержит нулевого элемента, то оно не может быть подпространством.

Во-вторых, подмножество должно быть замкнуто относительно операции сложения и умножения на скаляр. Это означает, что если векторы v и w принадлежат подмножеству, то и их сумма v + w также должна принадлежать подмножеству. Аналогично, если вектор v принадлежит подмножеству, то его произведение на скаляр α, где α — число, также должно принадлежать подмножеству.

Например, подмножество всех векторов v в трехмерном пространстве, у которых координаты x, y и z удовлетворяют условию x + y + z = 0, является подпространством. Действительно, оно содержит нулевой элемент (так как для нулевого вектора выполняется условие 0 + 0 + 0 = 0) и замкнуто относительно операции сложения и умножения на скаляр.

Шаги для доказательства

1. Проверить непустоту и замкнутость относительно сложения. Проверяется, что подмножество содержит нулевой вектор и что оно замкнуто относительно операции сложения двух векторов.
2. Проверить замкнутость относительно умножения на скаляр. Необходимо убедиться, что подмножество замкнуто относительно умножения любого вектора на любое число.

Если оба этих условия выполняются, то подмножество является подпространством.

Рассмотрим пример. Пусть дано подмножество W множества всех векторов R³, заданное условием W = {(x, y, z) | x — 2y = 0}.

1. Для проверки непустоты и замкнутости относительно сложения необходимо:

— Показать, что вектор (0, 0, 0) является элементом подмножества W. Для этого нужно подставить x = 0 и y = 0 в уравнение x — 2y = 0. Получим 0 — 2 * 0 = 0, что верно.

— Показать, что если векторы (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) принадлежат подмножеству W, то их сумма (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂) тоже принадлежит. Для этого нужно показать, что если условие x₁ — 2y₁ = 0 и условие x₂ — 2y₂ = 0 выполнены, то и условие (x₁ + x₂) — 2(y₁ + y₂) = 0 тоже будет выполнено. Подставляем значения и получаем (x₁ + x₂) — 2(y₁ + y₂) = 0, что верно.

2. Для проверки замкнутости относительно умножения на скаляр необходимо:

— Проверить, что если вектор (x, y, z) принадлежит подмножеству W, то вектор (kx, ky, kz) тоже принадлежит, где k — скаляр. Для этого нужно подставить x — 2y = 0 в уравнение (kx) — 2(ky) = 0 и показать, что оно также выполняется. Получаем (kx) — 2(ky) = k(x — 2y) = k * 0 = 0, что верно.

Таким образом, подмножество W является подпространством векторного пространства R³.

Примеры доказательств

1. Пример 1: Рассмотрим векторное пространство \(\mathbb{R}^3\) и подмножество \(U = \{(x, y, z) \,|\, x + y + z = 0\}\). Чтобы доказать, что \(U\) является подпространством \(\mathbb{R}^3\), необходимо проверить выполнение двух условий: (1) \(U\) непусто и (2) \(U\) замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр.

   1. Условие 1: Подмножество \(U\) непусто, так как в него входит, например, вектор \((0, 0, 0)\), удовлетворяющий уравнению \(x + y + z = 0\).

   2. Условие 2: Пусть \(\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1)\) и \(\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2)\) – произвольные векторы из \(U\), а \(k\) – произвольный скаляр. Тогда нужно проверить, что векторы \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) и \(k\mathbf{u}\) также принадлежат множеству \(U\) по заданному условию.

      • Условие 2.1: Сложение векторов. Пусть \(\mathbf{u} = (x_1, y_1, z_1)\) и \(\mathbf{v} = (x_2, y_2, z_2)\) – произвольные векторы, удовлетворяющие условию \(x_1 + y_1 + z_1 = 0\) и \(x_2 + y_2 + z_2 = 0\), соответственно. Тогда при сложении векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) получаем вектор \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)\). Проверим, что \(x_1 + x_2 + y_1 + y_2 + z_1 + z_2 = 0\), что равносильно тому, что вектор \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) также принадлежит множеству \(U\).

      • Условие 2.2: Умножение вектора на скаляр. Пусть \(\mathbf{u} = (x, y, z)\) – произвольный вектор, удовлетворяющий условию \(x + y + z = 0\), а \(k\) – произвольный скаляр. Тогда при умножении вектора \(\mathbf{u}\) на скаляр \(k\) получаем вектор \(k\mathbf{u} = (kx, ky, kz)\). Проверим, что \(kx + ky + kz = 0\), что равносильно тому, что вектор \(k\mathbf{u}\) также принадлежит множеству \(U\).

2. Пример 2: Рассмотрим векторное пространство \(\mathbb{R}^2\) и подмножество \(U = \{(x, y) \,|\, x = 2y\}\). Чтобы доказать, что \(U\) является подпространством \(\mathbb{R}^2\), нужно проверить выполнение двух условий: (1) \(U\) непусто и (2) \(U\) замкнуто относительно операций сложения и умножения на скаляр.

   1. Условие 1: Подмножество \(U\) непусто, так как в него входит, например, вектор \((0, 0)\), удовлетворяющий уравнению \(x = 2y\).

   2. Условие 2: Пусть \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) и \(\mathbf{v} = (x_2, y_2)\) – произвольные векторы из \(U\), а \(k\) – произвольный скаляр. Тогда нужно проверить, что векторы \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) и \(k\mathbf{u}\) также принадлежат множеству \(U\) по заданному условию.

      • Условие 2.1: Сложение векторов. Пусть \(\mathbf{u} = (x_1, y_1)\) и \(\mathbf{v} = (x_2, y_2)\) – произвольные векторы, удовлетворяющие условию \(x_1 = 2y_1\) и \(x_2 = 2y_2\), соответственно. Тогда при сложении векторов \(\mathbf{u}\) и \(\mathbf{v}\) получаем вектор \(\mathbf{u} + \mathbf{v} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\). Проверим, что \(x_1 + x_2 = 2(y_1 + y_2)\), что равносильно тому, что вектор \(\mathbf{u} + \mathbf{v}\) также принадлежит множеству \(U\).

      • Условие 2.2: Умножение вектора на скаляр. Пусть \(\mathbf{u} = (x, y)\) – произвольный вектор, удовлетворяющий условию \(x = 2y\), а \(k\) – произвольный скаляр. Тогда при умножении вектора \(\mathbf{u}\) на скаляр \(k\) получаем вектор \(k\mathbf{u} = (kx, ky)\). Проверим, что \(kx = 2(ky)\), что равносильно тому, что вектор \(k\mathbf{u}\) также принадлежит множеству \(U\).

Важные моменты

• Подмножество должно содержать нулевой элемент, чтобы быть подространством. Это важное условие, поскольку нулевой элемент является необходимым для выполнения всех арифметических операций в подпространстве.
• Подмножество должно быть замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр. Замкнутость относительно сложения означает, что сумма любых двух элементов из подпространства также принадлежит подпространству. Замкнутость относительно умножения на скаляр означает, что произведение любого элемента из подпространства на любой скаляр также принадлежит подпространству.
• Подмножество должно содержать все элементы, необходимые для образования линейной комбинации исходных элементов. Линейная комбинация представляет собой сумму элементов, умноженных на скаляры. Все эти линейные комбинации должны принадлежать подпространству.